При решении геотехнических задач, в частности, при построении пространственных конечно-элементных схем основания, весьма существенной является достоверная оценка пространственной картины напластования грунтов по данным инженерно-геологических  изысканий. Построение такой картины требует рассмотрения методик математического анализа данных геологических изысканий, обычно представленных в виде некоторого количества скважин, в которых установлены мощности геологических элементов. При этом характер залегания пластов грунта на удалении от скважин в точности не известен и может быть определен только с некоторой долей вероятности.

Задачу создания трехмерной картины геологических напластований можно свести к задаче построения поверхности грунтового массива и N поверхностей подошв слоев. Изображение трехмерной картины каждой подошвы слоя представляет собой задачу построения поверхности по M заданным точкам. Для решения таких задач разработаны математические методы, позволяющие строить гладкие поверхности, отвечающие различным критериям. Однако для получения картины геологических напластований важно не только построение поверхности, но и оценка достоверности картины. Поэтому наиболее полное решение задачи возможно с применением теории вероятностей. Рассмотрим методику получения пространственной картины геологических напластований, основанную на вероятностном подходе.

Пусть задана отметка поверхности в какой-либо точке с координатами x и y. По мере удаления от этой точки, очевидно, достоверность данной информации будет убывать по некоторому закону. При этом, чем больше разброс отметок в рассматриваемой совокупности точек, тем быстрее будет уменьшаться достоверность информации при удалении от точки с известной отметкой. Оценим статистические закономерности изменения отметок в зависимости от расстояния между точками.

Рассмотрим реальную совокупность точек. Вычислим расстояния в плане r_ij и разность отметок между точками i и j и построим зависимость   от r_ij (рис.1).

Рис. 1. Зависимость от r_ij;   – разность отметок, – аппроксимация зависимости среднеквадратического отклонения от расстояния

 Как видно из рис. 1, разброс отметок точек с увеличением расстояния, в среднем, возрастает. Для каждого участка   можно построить гистограмму относительных частот попадания разности отметок   в определенный интервал . Как видно из рис. 2, получаемую эмпирическую функцию распределения разности отметок точек   с достаточной точностью можно аппроксимировать нормальным законом с дисперсией

где M – число расстояний между точками, попадающими в интервал , а суммирование производится только для таких , для которых .

Рис. 2. Функции распределения случайной величины :   – эмпирическая функция распределения; – аппроксимация нормальным законом

При этом можно заметить, что с увеличением расстояния r дисперсия возрастает. В первом приближении зависимость среднеквадратического отклонения от расстояния можно принять линейной:

.  (1)

Параметр k в формуле (1) может быть вычислен методом наименьших квадратов, путем минимизации суммы

_.  (2)

При этом для каждого интервала   величина   будет близка дисперсии D(r) настолько, насколько позволяет принятый линейный закон изменения среднеквадратического отклонения от расстояния. Взяв производную по K=k² от выражения (2) и приравняв ее нулю, получим формулу для вычисления k:

  . (3)

Принятые закономерности позволяют достаточно хорошо описать эмпирическую функцию распределения случайной величины   на различных расстояниях r (рис. 3).

Рис. 3. Аппроксимация эмпирических функций распределения случайной величины   на различных расстояниях r; а, б - эмпирические функции распределения на расстоянии, соответственно 100 и 10 м; в, г - аппроксимация эмпирических функций

 Параметр k в (1) характеризует среднестатистическую зависимость изменения отметок для данной совокупности точек от расстояния. Зная статистический характер изменения отметок, можно перейти к построению наиболее вероятной поверхности по N точкам.

Обозначим через   случайную величину, равную отметке в некоторой точке, расположенной на расстоянии   от I–й точки с отметкой . Учитывая полученные статистические закономерности для рассматриваемой совокупности точек, распределение этой случайной величины можно описать нормальным законом с математическим ожиданием   и дисперсией :

Аналогично можно описать случайную величину z_j, равную отметке поверхности на расстоянии r_j от j-й точки. Функция распределения отметки по информации точек i и j будет равна условной функции распределения f(z) = f(z_i=zïz_j=z_i=z) = f(z_j=zïz_i=z_j=z), которую можно вычислить по формуле Байеса:

.  (4)

Нетрудно убедиться, что функция (4) соответствует нормальному распределению с математическим ожиданием

  (5)

и дисперсией

.  (6)

Распространяя (5) и (6) на случай N точек с заданными отметками, получим

  ,

i = 1…N. (7)

Формулы (7) позволяют получить наиболее вероятную отметку Z=M(Z) произвольной точки, а также оценить среднеквадратическое отклонение (стандарт) полученного значения , т.е. его достоверность.

Очевидно, что достоверность получения отметки подошвы слоя в некоторой точке по данным геологических изысканий, выполненных в других точках, будет существенно влиять на точность геотехнических расчетов. Оценим вклад ошибки, обусловленной недостаточным количеством точек геологических изысканий, в расчете осадок, например методом послойного суммирования.

Пусть поверхность, описывающая подошву слоя, разделяет слои с модулями E₁ и E₂. Обозначим s_zp дополнительное вертикальное нормальное напряжение от нагрузки на фундаменты здания, действующее на уровне раздела слоев. Рассмотрим малый (в понимании метода послойного суммирования) участок толщиной H, внутри которого находится граница разделов (рис. 4), при этом будем считать, что напряжение s_zp в пределах промежутка H меняется незначительно и его можно считать постоянным.

Рис. 4

В этом случае осадка, обусловленная сжатием участка H, может быть вычислена в соответствии с методом послойного суммирования:

  ,

е b – коэффициент, принимаемый по СНиП 2.02.01–83* равным 0,8; h – толщина слоя 1 в пределах участка H. 

Пусть отметка подошвы слоя имеет среднеквадратическое отклонение . Среднеквадратическое отклонение величины S_H,

вызванное неточностью отметки подошвы слоя, будет равно

.

Очевидно, что, если модули слоев различаются незначительно, то погрешность при вычислении осадок, обусловленная неточностью отметки раздела слоев, будет мала.

При вычислении осадки многослойного основания получим формулу для оценки ошибки изысканий по критерию достоверности определения осадок:

_,  (8)

где – среднеквадратическое отклонение отметки подошвы i-го слоя, s_zpi – дополнительное нормальное вертикальное напряжение на глубине раздела слоев.

Формула (8) позволяет оценить необходимость проведения дополнительных изысканий в зависимости от типа фундаментов проектируемого или реконструируемого здания, допускаемых осадок и т.д.

На рис. 5 приведен пример анализа характера залегания слоев грунта под зданием Мариинского театра по данным геологических изысканий разных лет, на рис. 6 – изолинии достоверности отметок поверхности слоя моренных отложений.

Рис. 5. Пространственная картина залегания геологических слоев в районе Мариинского театра: 1 – контуры здания Мариинского театра; 2 – ДК им Первой пятилетки; 3 – Крюков канал (подписаны абсолютные отметки поверхности грунта и подошв слоев)

 

Рис. 6. Среднеквадратическое отклонение вычисленной поверхности
кровли моренных отложений в районе Мариинского театра. 

Алгоритм расчета отметок поверхностей подошв слоев и оценки среднеквадратического отклонения по формуле (7) чрезвычайно прост и эффективен для реализации на ЭВМ, поскольку содержит простейшие операции суммирования. Программная реализация предлагаемой методики в среде FEM models позволяет строить пространственные конечно-элементные сетки, учитывающие сложный характер залегания геологических элементов, а также анализировать данные геологических изысканий, строить разрезы по произвольным направлениям и оценивать достоверность геологических данных.