В промышленно-гражданском, энергети­ческом и гидротехническом строительстве широкое применение находят удерживающие грунт сооружения и конструкции (подпорные стены, включая стены подвалов и заглубленных помещений, ограждение котлованов, причальные конструкции типа больверк и т.д.), для которых одной из основных нагрузок является давление грунта. При устройстве на нескальных основаниях такие сооружения в большинстве своем испытывают давление, определяемое как активное давление или распор грунта, величина которого вычисляется по известным зависимостям [1, 2] при использовании расчетных значений прочностных характеристик j, с, т.е. определяется детерминированное значение этого давления.

Дальнейшее совершенствование геотехнических расчетов, в том числе и активного давления, связано, в частности, с учетом стохастической изменчивости свойств и неоднородности грунтовых оснований и обратных засыпок ограждающих конструкций, изменчивости нагрузок на поверхности засыпок, высоты конструкции и других факторов, являющихся случайными величинами [3].

Изменчивость высоты конструкции стенки рассматривается как неточность изготовления при бетонных работах и принимается равной 1 см на 1 м длины конструкции в сторону увеличения или уменьшения размеров. Весьма важными такие расчеты становятся при проведении работ по реконструкции и при новом строительстве сооружений с подземной частью в условиях плотной городской застройки. При этом необходимо определение не только математического ожидания величины давления, но и других вероятностных характеристик: дисперсии, стандарта, коэффициента вариации и др.

Детерминированное значение активного давления засыпки с горизонтальной поверхностью на вертикальную грань ограждения в случае грунта, обладающего трением и сцеплением, определяется зависимостью [2]

    (1)

или в виде

.  (1а)

При наличии на поверхности засыпки равномерно распределенной нагрузки q в (1) добавляется слагаемое q·h·tg²(45⁰-s/2) .

Ниже приводится определение вероятностных характеристик – математического ожидания М_Еа, дисперсии D_Еа, стандарта s_Еа и коэффициента вариации V_Еа – для активного давления грунта по зависимости (1), при этом Еа рассматривается как случайная функция нескольких случайных переменных, например, γ_гр, h, c, j, т. е. Е_а=f(γ_гр, h, c, j). Для определения М_Еа, D_Еа, s_Еа, V_Еа могут быть использованы, особенно при небольшом числе случайных переменных, простой и уточненный методы линеаризации теории вероятностей [4].

При применении простого метода линеаризации имеем

МЕа=f(Мγгр, Мh, Мc, Мj), DЕа = sЕа2 =

2

где х₁= γ_гр , х₂=h , х₃= j , х₄=с; sх₁= sγ_гр , sх₂=sh , sх₃= sj , sх₄=σс.

При применении уточненного метода линеаризации определяем М_Еа, D_Еа, s_Еа, V_Еа с учетом нелинейных коэффициентов по формулам [4]

МЕа=f(Мγгр, Мh, Мc, Мj) +  + DЕа = σЕа2 =

3

Коэффициент вариации для обоих методов линеаризации определяется как V_Еа=(s_Еа/ М_Еа).

Входящие в зависимость (2), (3) производные первого и второго порядков находим, принимая f = Еа по зависимости (1а) и учитывая тригонометрические соотношения

  _;

_.

Указанные производные имеют вид:

_;

_;

_;

_;

_;

_;

 _;

_;

;  _;

_;

_;

 _.

 

При большом числе переменных (более 2 – 3) определение вероятностных характеристик функции этих переменных, в частности Еа, существенно облегчается при использовании метода Монте-Карло (метода статистических испытаний) [3]. Расчеты осуществляется по алгоритму:

1. Моделируем нормальный закон распределения случайной величины через случайные числа:

x = M_x ( 1 + V_x x_x ) ,где M_x, V_x – математическое ожидание и коэффициент вариации случайной характеристики х ( V_x £1/3 );x_x - случайное число, распределенное по нормальному закону, моделируется методом Монте-Карло:

x » x ^{( 12 )} = -6 +    ,

где g _i – случайное число (функция Rnd()).

2. Определяем Е_а по формуле (1), принимая достаточно большое число вычислений, например, i=10 000. Для полученного ряда значений Еа находим математическое ожидание, дисперсию, стандарт и коэффициент вариации.

Рассмотрим пример определения вероятностных характеристик активного давления грунта Еа изложенными выше вариантами метода линеаризации и методом Монте-Карло для 4 случайных величин γ_гр, h, c, j, входящих в формулу (1), при этом математические ожидания считаем равными γ_гр=17кН/м³, h=6 м, c=20 кПа, j=16˚. Для высоты подпорной стены максимальный коэффициент вариации найдем из правила «трех сигм»: V_h=(6см /3)/600 см=0,00333.

Некоторые результаты определения математического ожидания М_Еа и коэффициент вариации V_Еа активного давления при различных значениях вариации переменных сведены в таблицу.

Выводы:

1. Значения М_Еа, V_Еа, полученные методом Монте-Карло и методом уточненной линеаризации, учитывающим нелинейные коэффициенты, практически одинаковы, метод простой линеаризации может давать существенные погрешности, особенно при больших значениях коэффициента вариации.

2. Для варианта 4 (и более) случайных переменных определение вероятностных характеристик функции этих величин методом уточненной линеаризации становится более трудоемким, чем методом Монте-Карло.

3. Из 4 принятых случайных величин (γ_гр, h, c, j) и их математических ожиданий изменчивость γ_гр в наибольшей мере влияет на изменчивость коэффициента вариации Е_а.

Список литературы

1. СНиП II-55–79. Подпорные стены, судоходные шлюзы, рыбопропускные и рыбозащитные сооружения. М., 1980.

2. Иванов П.Л. Грунты и основания гидротехнических сооружений. М.: Высшая школа, 1991.

 3. Бугров А.К., Шилин В.Г. Расчет надежности по осадке упругопластического основания методом статистических испытаний// Реконструкция городов и геотехническое строительство. 2000. №2.

4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Физико-математическая литература, 1962.