(1)ШАШКИН Алексей Георгиевич - к.т.н., член РНКМГиФ, ученый секретарь ГЭКК ОФиПС
Основные направления научной деятельности - геотехническое обоснование реконструкции и нового строительства в условиях плотной городской застройки, проектирование и усиление зданий. Автор 40 опубликованных работ, одной монографии.
Шашкин Константин Георгиевич - аспирант кафедры геотехники СПбГАСУ.
Основные направления научной деятельности - разработка численных методов решения геотехнических задач и их программная реализация. Автор 10 опубликованных работ.
Согласно классическому определению Б. И. Далматова [1] к слабым глинистым грунтам относятся насыщенные водой сильносжимаемые грунты, которые при обычных скоростях приложения нагрузок на основание теряют свою прочность, вследствие чего уменьшается их сопротивляемость сдвигу и возрастает сжимаемость.
С позиций физико-химической механики слабый глинистый грунт представляет собой дисперсную структурированную систему с коагуляционным типом структурных связей, способную при их нарушении переходить из твердообразного состояния в жидкообразное.
Твердообразное состояние характеризуется наличием пространственного структурного каркаса, жидкообразное – отсутствием единой структурной сетки. Наличие или отсутствие единого пространственного каркаса определяет макроскопические свойства среды, в том числе ее механические свойства.
Твердообразному состоянию свойственна наибольшая вязкость, жидкообразному – наименьшая. Первое может быть охарактеризовано выраженным сопротивлением сдвигу, тогда как во втором состоянии сопротивление сдвигу близко к нулю.
Сущность перехода грунта из состояния, свойственного твердому телу, в состояние, характерное для вязкой жидкости, заключается в нарушении структурных связей. Всякое фактическое текущее состояние грунта определяется степенью нарушения структурных связей и заключено между твердообразным и жидкообразным состояниями.
Однако категория «степень нарушения структурных связей» нуждается в математической и физической конкретизации.
1. Основные предпосылки
Грунт как дисперсная структурированная система состоит их дисперсных частиц и дисперсионной фазы (воды). Поведение этой системы под внешним воздействием определяется взаимодействием частиц, окруженных водными оболочками. При этом в диапазоне воздействий, характерных для строительства, возможно только смещение частиц, но не происходит их дробления.
Аппарат для исследования системы неделимых взаимодействующих частиц разработан в статистической физике. Как известно, статистическая физика оперирует с системами, количество частиц в которых настолько велико, что к ним оказываются применимы закономерности статистики. Отметим, что в этом плане грунтовые среды можно отнести к таким системам, поскольку в любых малых объемах среды (по сравнению с размерами массива грунта) присутствует статистически представительное множество дисперсных частиц.
Обычно законы статистической физики применяют к микроскопическим частицам – атомам молекулам. Однако это не исключает возможности применения этих законов к статистическим ансамблям более крупных частиц. Основы такого подхода к грунтам заложены С.С.Вяловым (1978) [3].
Как известно, для исследования систем взаимодействующих частиц применяется метод статистических ансамблей Гиббса. Изложим основные принципы этого метода.
2. Применение принципов статистической физики к системе дисперсных частиц.
Выделим элементарный объем грунта, малый по сравнению с рассматриваемым массивом, но содержащий статистически представительное число частиц. Такой объем можно считать квазизамкнутой системой, поскольку энергия внутреннего взаимодействия частиц (пропорциональная объему) существенно превышает энергию взаимодействия частиц, находящихся на границе раздела разных объемов (пропорциональную площади поверхности объема).
Энергия такой квазизамкнутой системы представляется суммой:
(1)
где Ki – кинетическая энергия i-й частицы, U(qi) – ее потенциальная энергия во внешнем поле, W(q1, q2,...) – потенциальная энергия взаимодействия частиц , q1, q2,... - координаты частиц.
Для рассматриваемой системы потенциальная энергия во внешнем поле (которым для массива грунта является поле тяготения) при деформировании практически не изменяется. Актуальность этого слагаемого может проявиться только при рассмотрении процесса формирования породы (седиментации осадков).
При рассмотрении вклада слагаемого 
отметим, что энергия
движения дисперсных частиц несравнимо ниже энергии их взаимодействия.
В первом приближении этим слагаемым можно пренебречь, поскольку очевидно,
что в грунте свободное движение частиц крайне затруднено: они совершают
незначительные тепловые колебания вблизи положения равновесия.
Поэтому в выражении (1) нас будет интересовать только изменение энергии взаимодействия частиц, которое обычно представляют в виде суммы парных взаимодействий:
(2)
Согласно каноническому распределению Гиббса [4] вероятность пребывания системы в состоянии с энергией от W до W+dW равна:
(3)
где k- постоянная Больцмана, Т0 – абсолютная температура, dГ(W) – объем Г-пространства между гиперповерхностями W и W+dW.
Распределение Гиббса указывает вероятность каждого состояния системы. В частности, оно определяет равновесное состояние системы, в котором она будет находиться большую часть времени.
Метод Гиббса позволяет, задав функцию взаимодействия двух частиц, предсказать макроскопическое поведение всей системы.
Рис. 1. Вид зависимости энергии взаимодействия двух частиц от расстояния.
Функция взаимодействия имеет вид, изображенный на рис.1
Для определения состояния
системы по формуле (3) необходимо вычислить объем Г-пространства dГ(W),
т.е. вычислить функцию 
.
Согласно законам статистики
функция плотности распределения 
при большом
количестве частиц будет стремится к нормальному распределению:
,
(4)
где Wmax - центр распределения, D - дисперсия.
Подставляя функцию (4) в выражение (3), получим в итоге также нормальное распределение с той же дисперсией и центром Wmin:
,
(5)
где
(6)
соответствует математическому ожиданию энергии взаимодействия частиц, которую имеет система в равновесном (природном) состоянии. Величина Wmax характеризует другое крайнее положение, в котором частицы расположены крайне неупорядоченно, т.е. отсутствует какая-либо структура. Это положение соответствует максимуму потенциальной энергии и поэтому неустойчиво.
Таким образом, степень нарушения структурных связей получает ясную физическую и математическую интерпретацию: степень нарушения структурных связей есть состояние, характеризуемое величиной энергии межчастичного взаимодействия, находящейся в интервале от Wmin до Wmax.1
Если обозначить разность 
, то степень
нарушения структурных связей будет определяться в долях от A:
, 
.
(7)
Параметр A представляет собой физически максимальную потенциальную энергию межчастичного взаимодействия, которая может быть поглощена системой при деформировании. Назовем его работой расструктуривания.
3. Поведение структурно-неустойчивой среды во времени в процессе деформирования.
Выше было рассмотрено равновесное состояние системы, характеризуемой энергией взаимодействия частиц Wmin. Очевидно, что процесс деформирования является неравновесным, в ходе его система отклоняется от равновесного состояния. При этом любое нарушение равновесия инициирует развитие обратных релаксационных процессов, возвращающих систему к равновесному состоянию.
Рассмотрим систему дисперсных частиц, находящуюся в неравновесном состоянии,
характеризующемся некоторой энергией W,
. В этом случае
система будет обладать избыточной потенциальной энергией взаимодействия
частиц W-Wmin.
Со временем этот избыток будет приводить к их взаимному перемещению,
т.е. превращению избыточной потенциальной энергии межчастичного взаимодействия
в кинетическую энергию движения частиц. Движение частиц происходит в вязкой
дисперсионной среде (воде), что приводит к диссипации энергии в виде выделения
тепла (нагреве частиц и окружающих молекул воды). В воде при этом начинается
процесс теплообмена, а точнее (для нашего случая) отвода тепла от системы
частиц в термостат (воду).
Энтропия системы частиц с энергией 
согласно формуле
Больцмана записывается в виде:
,
(8)
где k - постоянная Больцмана, 
- функция,
вычисляемая по формуле (4).
Всякий неравновесный
процесс, как это принято в термодинамике, можно мысленно разделить на
последовательность двух процессов: перехода системы в равновесное состояние
без подвода или отвода тепла, при котором энтропия возрастает 
и последующего
обратимого отвода тепла, при котором энтропия изменится на величину 
[4].
Закон сохранения энергии для системы дисперсных частиц имеет вид:
.
(9)
В случае, если внешними силами не совершается работы, а происходит только
процесс релаксации внутренней энергии, 
. Тогда 
.
Таким образом,
внутренняя энергия системы может измениться только вследствие теплообмена.
Поэтому для рассмотрения изменения внутренней энергии при релаксации можно
оперировать только вторым процессом 
.
Отсюда
(10)
Подставив значение для 
из (4) в формулу
Больцмана (8) и выполнив дифференцирование, получим:
(11)
Выразим из формулы (6) дисперсию D через Wmax и Wmin:
(12)
Подставив (12) в (11) и далее в (10), определим, что
,
откуда
.
(13)
Температура T системы частиц, как видно из (13), отличается от температуры термостата T0. Она характеризует подвижность частиц, которая возрастает с увеличением степени нарушения структурных связей. Повышение температуры системы частиц нивелируется высокой теплоемкостью дисперсной среды, поглощающей избыточное тепло. Поэтому в процессе релаксации температуру грунта в целом можно считать неизменной.
Процесс передач тепла во времени от системы дисперсных частиц к дисперсионной среде можно описать законом Фурье:
,
где 
, 
- постоянная,
характеризующая процесс теплопередачи. В итоге количество тепла, выделившееся
из системы дисперсных частиц при релаксации равно
.
(14)
Рассмотрим класс задач, связанных только с деформациями формоизменения. В этом случае работу, совершаемую над системой частиц можно выразить следующим образом:
,
где 
- сдвиговое
напряжение, обусловленное взаимодействием дисперсных частиц, 
- деформация
сдвига.
Для дисперсной системы, состоящей из дисперсных частиц и дисперсионной
среды (воды) полное сопротивление сдвигу будет складываться из напряжения
и составляющей,
определяемой вязкостью 
суспензии, состоящей
из дисперсионной среды и невзаимодействующих частиц (случай максимального
расструктуривания):
(15)
Поскольку в реальности процесс изменения внутренней энергии в результате работы внутренних сил и в результате релаксации идут параллельно, закон сохранения энергии (9) с учетом (14) и (15) можно представить как
(16)
Выражение (15), используя понятие степени нарушения структурных связей и работы расструктуривания, можно привести к виду
,
(17)
где 
параметр
скорости восстановления структурных связей при постоянной температуре
T0. Уравнение (17) определяет
состояние системы при деформировании. Однако неясной остается связь между
и 
.
 |
|
|
Рис. 2. Схема деформирования элемента грунта |
|
Зададим деформацию 
, которую будем считать
однородной в пределах рассматриваемого объема. Проведем через этот объем
сечение некоторой плоскостью, которая рассекает M
парных взаимодействий. Известно, что при деформировании расположение
частиц упорядочивается определенным образом по отношению к исходному (Вялов
С.С., 1978): при деформации сдвига, например, происходит переориентация
линий взаимодействия пар частиц (они вытягиваются в направлении сдвига),
что и обуславливает возникновение касательного напряжения в структуре
. В исходном состоянии
можно считать, что угол 
, образованный линией
взаимодействия между частицами и плоскостью сечения как случайная величина
имеет равномерное распределение от 0 до 
: 
, 
. Зададим сдвиговую
деформацию 
такую, что новый
угол линии взаимодействия частиц становится равным 
(рис. 2):
, следовательно 
.
Функция распределения угла 
примет вид
, 
.
(18)
Для нахождения 
необходимо спроецировать
все силы взаимодействия между частицами на плоскость сечения, сложить
их и разделить не площадь сечения.
Сила взаимодействия зависит от расстояния между частицами и является производной от функции потенциальной энергии межчастичного взаимодействия.
Исключая из зависимостей
и 
r,
можно получить функцию 
. Эта функция
имеет вид, изображенный на рис. 3.
Рис.
3. Графики функций W(r), F(r), F(W).
Пусть система дисперсных
частиц находится в некотором неравновесном состоянии с энергией W.
Средняя энергия взаимодействия между частицами 
может быть
получена делением полной энергии системы W на количество парных взаимодействий N:
. Энергия
взаимодействия двух частиц будет случайной величиной с некоторой функцией
плотности распределения 
, зависящей
от суммарной энергии W. Очевидно, что математическое
ожидание случайной величины w должно быть
равно 
:
.
(19)
Используя функцию
плотности распределения энергии взаимодействия двух частиц 
и функцию
плотности распределения угла линии взаимодействия частиц по отношению
к плоскости сечения 
, можно вычислить
количество парных взаимодействий с энергией от w
до w+dw
и углом от 
до 
, которое
будет равно 
. Тогда
касательное напряжение, вызванное взаимодействием частиц, выразится как
.
(20)
Первый интеграл в выражении (20) дает некоторую функцию от W.
Эта функция оказывается близка к линейной. Действительно, из рис. 3 видно,
что для того, чтобы средняя энергия взаимодействия частиц была равна
w0, все частицы должны находиться
на расстоянии, близком к r0.
В элементе объема таким образом можно расположить только 4 частицы, образующие
равносторонний тетраэдр. Если к ним добавить пятую частицу, то расстояние
между ней и хотя бы одной из четырех частиц будет больше r0.
Таким образом, для большого количества частиц средняя энергия взаимодействия
. Участок графика
F(r), соответствующий таким значениям энергии взаимодействия,
как видно из рис. 3, близок к линейному 
. Тогда, используя
(19) можно записать
.
Вычислим второй интеграл в выражении (20):
При 
В результате выражение (20) сильно упростится:
,
(21)
где 
, 
.
Используя понятие степени нарушения структурных связей и работы расструктуривания, приведем (21) к виду
,
(22)
где 
представляет собой
начальный модуль сдвига при степени нарушения структурных связей равной
нулю, а 
определяет вид кривой
. Для связных грунтов,
в которых касательное напряжение обусловливается, в основном, притяжением
между частицами (т.е. верхней частью графика F(w)
на рис. 3) 
, а следовательно
. Назовем для связных
грунтов параметр Wc энергией связности.
До сих пор
при рассмотрении угла линии взаимодействия частиц при деформациях формоизменения
мы считали, что положение частиц после деформирования является фиксированным
и не зависит от времени. То есть деформация 
соответствует
мгновенной упругой деформации. В реальности же будет наблюдаться
процесс релаксации касательных напряжений, который обусловлен хаотическим
тепловым движением частиц и разупорядочиванием углов линий взаимодействия.
К описанию данного процесса можно применить аппарат полуфеноменологической
теории необратимых процессов (одним из следствий которой является и использовавшийся
ранее закон Фурье). Согласно этой теории, если отклонение от равновесия
системы характеризуется некоторым параметром 
, таким, что
в равновесном состоянии 
, то при малых
скорость
возвращения системы в равновесное состояния (т.е. скорость уменьшения
будет пропорциональна
величине 
:
.
(23)
В нашем случае равновесным
состоянием будет состояние с неупорядоченными углами линий взаимодействия
частиц, а отклонение от состояния равновесия характеризуется величиной
. При малых
деформациях 
, согласно
(23) можно записать
где 
- некоторый параметр,
характеризующий скорость релаксации упругой деформации. Очевидно, эта
скорость будет зависеть от подвижности частиц, которая пропорциональна
температуруре, вычисляемой по зависимости (13):
,
или используя понятие степени нарушения структурных связей,
, где
.
Поскольку процессы нагружения и релаксации происходят одновременно, скорость развития упругих деформаций равна сумме скоростей этих процессов:
.
(24)
В итоге с учетом (15) сведем полученные выражения (17), (22) и (24) в систему трех дифференциальных уравнений:
.
(25)
Эта система позволяет при заданной функции 
или 
моделировать поведение
элемента грунта. Первое уравнение в системе (25) описывает закономерность
изменения степени нарушения структурных связей во времени в зависимости
от работы, совершаемой над элементом грунта; в его основе лежит закон
сохранения энергии. Второе - описывает связь между напряжениями и деформациями,
причем последние разделяются на упругие и остаточные; в основе этого уравнения
лежит закон условие равновесия. Наконец, третье определяет, какую часть
в полной деформации составляет упругая, обратимая компонента; это уравнение
следует из полуфеноменологической теории неравновесных процессов и описывает
релаксацию упругой составляющей деформации.
Повторим, что система (25) рассматривает неуплотняющуюся среду, в которой развитие получают только деформации формоизменения. В рамках предложенного подхода возможно построение модели среды, в которой учитываются не только деформации формоизменения, но и деформации уплотнения или разуплотнения. При построении такой модели необходимо учесть зависимость параметров A и Wc от в системе (25) от объемной деформации.
1. Далматов Б.И. Механика грунтов, основания и фундаменты. М.: Стройиздат, 1981-319 с.
2. Квасников И.А. Термодинамика и статическая физика. Теория неравномерных систем. Изд-во Московского ун-та. М., 1987. 559 с.
3. Вялов С.С. Реологические основы механики грунтов. М.: Высшая школа. 1978.-447 с.
4. Румер Б.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика, статическая физика и кинематика. М.: Наука. 1977 – 552 с.